Équation quotient

Propriété

Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels, avec \(b\) non nul.
On a : \(\dfrac{a}{b}=0\) si et seulement si \(a=0\).

Remarque

Il faut toujours commencer par s'assurer que le quotient est bien défini.

Exemple 1

Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\dfrac{x+1}{2}=0\).
Contrainte
Le dénominateur ne dépend pas de l'inconnue, il n'y a donc pas de contrainte.
Ce quotient existe pour tout réel \(x\).
Résolution
D'après la propriété précédente : \(\dfrac{x+1}{2}=0 \Leftrightarrow x+1=0 \Leftrightarrow x=-1\).
Donc \(\mathscr{S}=\{-1\}\).

Exemple 2
Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\dfrac{x+2}{x-1}=0\).
Contrainte
Le quotient \(\dfrac{x+2}{x-1}\) existe si et seulement si \(x-1\neq0\) c'est à dire si et seulement si \(x\neq1\).
Donc l'ensemble de définition de l'équation est \(\mathbb{R} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\).

Résolution
\(\dfrac{x+2}{x-1}=0\Leftrightarrow x+2=0 \Leftrightarrow x=-2\). 
Le résultat obtenu n'est pas la valeur interdite.
Donc \(\mathscr{S}=\{-2\}\).

Exemple 3

Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\dfrac{x}{2-x}=1\).
Contrainte
Le quotient \(\dfrac{x}{2-x}\) existe si et seulement si \(2-x\neq0\) c'est à dire si et seulement si \(x\neq2\).
Donc l'ensemble de définition de l'équation est \(\mathbb{R} \backslash \left\lbrace 2 \right\rbrace\).

Résolution
La propriété précédente s'applique lorsque le membre de droite de l'égalité est zéro. On commence donc par transformer l'égalité pour obtenir zéro comme membre de droite.
\(\qquad\dfrac{x}{2-x}=1\Leftrightarrow \dfrac{x}{2-x}-1=0\)
\(\qquad\dfrac{x}{2-x}=1\Leftrightarrow \dfrac{x}{2-x}-\dfrac{2-x}{2-x}=0\)
\(\qquad \dfrac{x}{2-x}=1\Leftrightarrow \dfrac{x-2+x}{2-x}=0\)
\(\qquad\dfrac{x}{2-x}=1\Leftrightarrow \dfrac{2x-2}{2-x}=0\)
\(\qquad\dfrac{x}{2-x}=1\Leftrightarrow 2x-2=0\)
\(\qquad\dfrac{x}{2-x}=1\Leftrightarrow x=1\) .
Le résultat obtenu n'est pas la valeur interdite.
Donc \(\mathscr{S}=\{1\}\).